Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（5，0），B（-3，0），C（0，4）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）過C作CD∥x軸交拋物線于D，連續(xù)BC、AD，兩個動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度運動．其中，點P沿著線段AB向B點運動，點Q沿著折線B→C→D的路線向D點運動．設(shè)這兩個動點運動的時間為t（秒）（0＜t＜7），△PQB的面積記為S．
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
③是否存在這樣的t值，使得△PQB是直角三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（5，0），B（-3，0），運用待定系數(shù)法，求得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{4}{15}$（x+3）（x-5）；
（2）①先根據(jù)C（0，4），CD∥x軸交拋物線于D，求得CD=2，再根據(jù)點Q的位置分兩種情況進(jìn)行討論：點Q在BC上運動；點Q在CD上運動，根據(jù)三角形的面積計算公式，分別求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)①中所得的S與t的函數(shù)關(guān)系式，分別求得S的最大值，最后綜合（ⅰ）（ⅱ）可得，當(dāng)t=4時，S有最大值，最大值為$\frac{32}{5}$；③分兩種情況進(jìn)行討論：點Q在線段BC上（不與C重合）；點Q與C重合，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分別求得t的值為3或5．

解答 （1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（5，0），B（-3，0），
∴設(shè)y=a（x+3）（x-5），
∴4=a（0+3）（0-5），
解得a=-$\frac{4}{15}$，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{4}{15}$（x+3）（x-5），
即$y=-\frac{4}{15}{x^2}+\frac{8}{15}x+4$．

（2）①∵C（0，4），CD∥x軸交拋物線于D，
∴點D的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)y=4時，4=-$\frac{4}{15}$（x+3）（x-5），
解得x₁=0或x₂=2，
∴D（2，4），
即CD=2，
（�。┊�(dāng)0＜t≤5時，QB=t，PB=8-t，
如圖，過點Q作QF⊥x軸于F，則QF=$\frac{4}{5}t$，
∴S=$\frac{1}{2}$PB•QF=$\frac{1}{2}（8-t）•\frac{4}{5}t$=$-\frac{2}{5}{t^2}+\frac{16}{5}t$；
（ⅱ）當(dāng)5≤t＜7時，Q點的縱坐標(biāo)為4，PB=8-t，
∴S=$\frac{1}{2}（8-t）×4$=-2t+16．

②（�。┊�(dāng)0＜t≤5時，$S=-\frac{2}{5}{t^2}+\frac{16}{5}\;t=-\frac{2}{5}{（t-4）^2}+\frac{32}{5}$，
∵-$\frac{2}{5}$＜0，
∴當(dāng)t=4時，S有最大值，最大值S=$\frac{32}{5}$；
（ⅱ）當(dāng)5≤t＜7時，S=-2t+16，
∵-2＜0，
∴S隨著t的增大而減小，
∴當(dāng)t=5時，S有最大值，最大值s=6，
綜合（�。�（ⅱ）可得，當(dāng)t=4時，S有最大值，最大值為$\frac{32}{5}$；

③存在這樣的t值，使得△PQB是直角三角形．
當(dāng)點Q在線段BC上（不與C重合）時，要使得△PQB是直角三角形，必須使得∠PQB=90°，
這時△BOC～△BQP，
∴$\frac{BQ}{BP}=\frac{OB}{BC}$，
即$\frac{t}{8-t}=\frac{3}{5}$，
∴t=3；
當(dāng)點Q與C重合時，點P與點O也重合，
即△PBQ與△OBC重合，符合要求，
此時t=5÷1=5，
綜上所述，t的值為3或5．

點評 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、相似三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角形的面積計算公式進(jìn)行求解．解題時注意分類討論思想的運用．