Question

8．某公司開(kāi)發(fā)了一種新產(chǎn)品，現(xiàn)要在甲地或者乙地進(jìn)行銷售，設(shè)年銷售量為x（件），其中x＞0．若在甲地銷售，每件售價(jià)y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式，為y=-$\frac{1}{10}$x+100，每件成本為20元，設(shè)此時(shí)的年銷售利潤(rùn)為w_甲（元）（利潤(rùn)=銷售額-成本）．
若在乙地銷售，受各種不確定因素的影響，每件成本為a元（a為常數(shù)，15≤a≤25 ），每件售價(jià)為106元，銷售x（件）每年還需繳納$\frac{1}{10}{x^2}$元的附加費(fèi)，設(shè)此時(shí)的年銷售利潤(rùn)為w_乙（元）（利潤(rùn)=銷售額-成本-附加費(fèi)）．
（1）當(dāng)a=16時(shí)且x=100是，w_乙=8000元；
（2）求w_甲與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求x為何值時(shí)，w_甲最大以及最大值是多少？
（3）為完成x件的年銷售任務(wù)，請(qǐng)你通過(guò)分析幫助公司決策，應(yīng)選擇在甲地還是在乙地銷售才能使該公司所獲年利潤(rùn)最大．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{2a}，\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}$）．

Answer 1

分析 （1）利用利潤(rùn)=銷售額-成本-附加費(fèi)得出w_乙的函數(shù)解析式為w_乙=（106-a）x-$\frac{1}{10}{x^2}$，代入數(shù)值求得答案即可；
（2）利用利潤(rùn)=銷售額-成本求得w_甲與x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得最值即可；
（3）先計(jì)算得到w_乙-y_甲=（26-a）x，而15≤a≤25，則w_乙-y_甲＞0，接著比較兩個(gè)函數(shù)的最大值，然后決定選擇在甲地還是在乙地．

解答 解：（1）w_乙=（106-a）x-$\frac{1}{10}{x^2}$，
當(dāng)a=16時(shí)且x=100時(shí)，w_乙=90×100-1000=8000（元）；
（2）w_甲=（y-20）x=（-$\frac{1}{10}$x+100-20）x=-$\frac{1}{10}$x²+80x=-$\frac{1}{10}$（x-400）²+16000，
（3）w_乙-y_甲=（106-a）x-$\frac{1}{10}{x^2}$-（-$\frac{1}{10}$x²+80x）=（26-a）x，
而15≤a≤25，
∴w_乙-y_甲＞0，
對(duì)于w_乙=-$\frac{1}{10}$x²+（106-a）x，
當(dāng)x=-$\frac{106-a}{2×（-\frac{1}{10}）}$=530-5a時(shí)，w_乙最大，最大值=$\frac{0-（106-a）^{2}}{4×（-\frac{1}{10}）}$=$\frac{5}{2}$（106-a）²，
∵15≤a≤25，
∴a=15時(shí)，x=455，w_乙最大值=$\frac{5}{2}$×（106-15）²=20702.5（元），
a=25時(shí)，x=405，w_乙最大值=$\frac{5}{2}$×（106-25）²=16402.5（元），
而x=400時(shí)，w_甲最大值=16000（元），
∴選擇在乙地銷售才能使該公司所獲年利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題，在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題．解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．