Question

10．九年級數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數(shù)）的售價y（單位：元/件）與時間x（單位：天）的函數(shù)關系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{x+40（0≤x≤50，且x為整數(shù)）}\\{90（50＜x≤90，且x為整數(shù)）}\end{array}\right.$；在第x天的銷售量p（單位：件）與時間x（單位：天）的函數(shù)關系的相關信息如表．已知商品的進價為30元/件，每天的銷售利潤為w（單位：元）．

時間x（天）	1	30	60	90
每天銷售量p（件）	198	140	80	20

（1）求出w與x的函數(shù)關系式；
（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；
（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？

Answer 1

分析 （1）當1≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=kx+b，由點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出此時y關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)圖形可得出當50＜x≤90時，y=90．再結合給定表格，設每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關系式為p=mx+n，套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售數(shù)量即可得出w關于x的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)w關于x的函數(shù)關系式，分段考慮其最值問題．當1≤x≤50時，結合二次函數(shù)的性質即可求出在此范圍內w的最大值；當50＜x≤90時，根據(jù)一次函數(shù)的性質即可求出在此范圍內w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結論；
（3）令w≥5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結論．

解答 解：（1）設每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關系式為p=mx+n
∵p=mx+n過點（60，80）、（30，140），
∴$\left\{\begin{array}{l}{60m+n=80}\\{30m+n=140}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=200}\end{array}\right.$，
∴p=-2x+200（0≤x≤90，且x為整數(shù)），
當0≤x≤50時，w=（y-30）•p=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000；
當50＜x≤90時，w=（90-30）（-2x+200）=-120x+12000．
綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關系式是w=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180X+2000}&{（0≤x≤50，且x為整數(shù)）}\\{-120x+12000}&{（50＜x≤90，且x為整數(shù)）}\end{array}\right.$．

（2）當0≤x≤50時，w=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∵a=-2＜0且0≤x≤50，
∴當x=45時，w取最大值，最大值為6050元．
當50＜x≤90時，w=-120x+12000，
∵k=-120＜0，w隨x增大而減小，
∴當x=50時，w取最大值，最大值為6000元．∵6050＞6000，
∴當x=45時，w最大，最大值為6050元．
即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元．

（3）當0≤x≤50時，令w=-2x²+180x+2000≥5600，即-2x²+180x-3600≥0，
解得：30≤x≤50，50-30+1=21（天）；
當50＜x≤90時，令w=-120x+12000≥5600，即-120x+6400≥0，
解得：50＜x≤53$\frac{1}{3}$，
∵x為整數(shù)，
∴50＜x≤53，53-50=3（天）．
綜上可知：21+3=24（天），
故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應用、一元一次不等式的應用、一元二次不等式的應用以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關鍵：（1）根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式；（2）利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質解決最值問題；（3）得出關于x的一元一次和一元二次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，根據(jù)給定數(shù)量關系，找出函數(shù)關系式是關鍵．