Question

15．已知△ABC中，BC=2，AB=4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿BC的延長(zhǎng)線方向以每秒2單位的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F停止運(yùn)動(dòng)，連接EF交AC于點(diǎn)O，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）如圖，當(dāng)AO=OC時(shí)，求t的值；
（2）如圖，作EH⊥AC于點(diǎn)H，請(qǐng)求出OH的長(zhǎng)度；
（3）設(shè)線段EF的中點(diǎn)為P，當(dāng)E點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的路徑長(zhǎng)2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，根據(jù)全等得：CD=AE=t，利用平行線分線段成比例定理列式可求得t的值；
（2）如圖2，同理作輔助線，得CD=$\frac{t（4-t）}{t+1}$，利用勾股定理求AC=2$\sqrt{5}$，根據(jù)同角的三角函數(shù)列式：cos∠A=$\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AC}$，得AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t，證明△DOC∽△EOA，求OA=$\frac{2\sqrt{5}（t+1）}{5}$，從而得：OH=OA-AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）如圖3，先畫圖形確定P點(diǎn)的路徑長(zhǎng)PP′，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)C作CD∥AB，交EF于D，
∴∠CDO=∠AEO，
∵AO=OC，∠AOE=∠DOC，
∴△AOE≌△COD，
∴AE=CD，
由題意得：AE=t，F(xiàn)C=2t，
∴EB=4-t，F(xiàn)B=2t+2，
∵CD∥EB，
∴$\frac{CD}{EB}=\frac{FC}{FB}$，
∴$\frac{t}{4-t}=\frac{2t}{2+2t}$，
t=$\frac{3}{2}$；

（2）如圖2，過(guò)C作CD∥AB，交EF于D，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{FC}{FB}$，
∴$\frac{CD}{4-t}=\frac{2t}{2t+2}$，
∴CD=$\frac{t（4-t）}{t+1}$，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△AEH和Rt△ACB中，cos∠A=$\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AH}{t}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t，
∵CD∥AB，
∴△DOC∽△EOA，
∴$\frac{DC}{AE}=\frac{OC}{OA}$，
∴$\frac{\frac{t（4-t）}{t+1}}{t}=\frac{AC-OA}{OA}$，
∴OA=$\frac{2\sqrt{5}（t+1）}{5}$，
∴OH=OA-AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（3）如圖3，當(dāng)E在A處，F(xiàn)在C處時(shí)，EF中點(diǎn)為AC中點(diǎn)P′，
當(dāng)E在B處時(shí)，F(xiàn)在BC的延長(zhǎng)線上，此時(shí)EF中點(diǎn)為P，
∴FC=2AB=8，
∴BF=BC+FC=2+8=10，
∴PF=$\frac{1}{2}$BF=5，
∴PC=FC-PF=8-5=3，
過(guò)P′作P′G∥AB，交BC于G，
∴P′G=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴PG=PC+CG=3+1=4，
由勾股定理得：PP′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
則當(dāng)E點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，P點(diǎn)的路徑長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，此類問(wèn)題確定動(dòng)點(diǎn)的路程是關(guān)鍵，并利用數(shù)形結(jié)合的思想綜合解決問(wèn)題，屬于�？碱}型．