Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+2x+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=

3

x

上，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若二次函數(shù)的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，當(dāng)NO+MN取最小值時，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+2x+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是-

1

a

，得出ON=

1

a

，根據(jù)M在反比例函數(shù)y=

3

x

上，得出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是-3a，從而得出NO+MN=

1

a

+3a，再根據(jù)

1

a

+3a≥2

1 a •3a

，得出

1

a

+3a的最小值是2

3

，求出a的值即可．

解答：解：∵二次函數(shù)y=ax²+2x+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是-

1

a

，
∴ON=

1

a

，
∵M(jìn)在反比例函數(shù)y=

3

x

上，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是-3a，
∴MN=3a，
∴NO+MN=

1

a

+3a，
∵

1

a

+3a≥2

1 a •3a

，
∴

1

a

+3a≥2

3

，
∴

1

a

+3a的最小值是2

3

，
即

1

a

+3a=2

3

，
解得；a=

3

3

，
經(jīng)檢驗(yàn)a=

3

3

是原方程的解．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是求出

1

a

+3a的最小值是2

3

，列出方程．