Question

18．如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的高，G為DC延長線上一點，AF⊥BG，垂足為F．AF交CD于E，求證：CD²=DE•DG．

Answer 1

分析 根據(jù)∠ACB=90°，CD⊥AB，得到∠CAD=∠BCD，推出Rt△ACD∽Rt△CBD，于是得到CD²=AD•BD，根據(jù)AF⊥BG，GD⊥AB，證得∠EDA=∠EFG=∠GDP=90°，推出△BGD∽△ADE，于是得到AD•BD=DG•DE即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD，
又∵AF⊥BG，GD⊥AB，
∴∠EDA=∠EFG=∠GDB=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠G=∠3，
∴△BGD∽△ADE，
∴$\frac{GD}{AD}$=$\frac{BD}{DE}$，
∴AD•BD=DG•DE
∴CD²=DE•DG．

點評 此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．