Question

若直角三角形兩直角邊上中線長度之比為m，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：以直角頂點為原點，兩直角邊分別為x，y坐標(biāo)的正半軸建立坐標(biāo)系，令A(yù)（x，0），B（0，y）其中x，y＞0，根據(jù)勾股定理求出OA和OB邊上的中線，求得m²=

x2 4 + y2

y2 4 + x2

，分子分母同除以x²，解出m的取值范圍即可．

解答：解：以直角頂點為原點，兩直角邊分別為x，y坐標(biāo)的正半軸建立坐標(biāo)系，
令A(yù)（x，0），B（0，y）其中x，y＞0，
根據(jù)勾股定理，
OA邊上的中線的平方為：

x2

4

+y²，
OB邊上的中線的平方為：x²+

y2

4

，
則：m²=

x2 4 + y2

y2 4 + x2

，分子分母同除以x²，
∴m²=

1 4 + y2 x2

y2 4x2 +1

，
當(dāng)

y2

x2

=0，m²=

1

4

，∵x，y＞0，∴m²＞

1

4

，
當(dāng)

y2

x2

很大，∴m²＜4，
顯然可以得到

1

4

＜m²＜4，
所以得

1

2

＜m＜2．
故答案為

1

2

＜m＜2．

點評：本題主要考查三角形的三邊關(guān)系的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和中線的知識，此題難度不大．