Question

11．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MN∥BC，點D是直線MN上一點，不與點A重合．
（1）若點E是圖1中線段AB上一點，且DE=DA，請判斷線段DE與DA的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）請在下面的A，B兩題中任選一題解答．
A：如圖2，在（1）的條件下，連接BD，過點D作DP⊥DB交線段AC于點P，請判斷線段DB與DP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
B：如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，改變點D的位置后，連接BD，過點D作DP⊥DB交線段CA的延長線于點P，請判斷線段DB與DP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

我選擇：A．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE=∠B=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、等量代換證明即可；
（2）A、根據(jù)同角的余角相等得到∠BDE=∠ADP，證明△DEB≌△DAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理證明結(jié)論；
B、與A的證明方法類似，延長AB至F，連接DF，使DF=DA，證明△DFB≌△DAP即可．

解答 解：（1）DE⊥DA．
證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵MN∥BC，
∴∠DAE=∠B=45°，
∵DA=DE，
∴∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠ADE=90°，即DE⊥DA；
（2）A、DB=DP．
證明：∵DP⊥DB，
∴∠BDE+∠EDP=90°，
∵DE⊥DA，
∴∠ADP+∠EDP=90°，
∴∠BDE=∠ADP，
∵∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠BED=135°，∠PAD=135°，
∴∠BED=∠PAD，
在△DEB和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠PDA}\\{∠BED=∠PAD}\\{DE=DA}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DAP，
∴DB=DP．
B、DB=DP．
證明：如圖3，延長AB至F，連接DF，使DF=DA，
由（1）得，∴∠DFA=∠DAF=45°，
∴∠ADF=90°，又DP⊥DB，
∴∠FDB=∠AMP，
∵∠BAC=90°，∠DAF=45°，
∴∠PAM=45°，
∴∠BFD=∠PAM，
在△DFB和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDB=∠AMP}\\{∠BFD=∠PAM}\\{DF=DA}\end{array}\right.$，
∴△DFB≌△DAP，
∴DB=DP．

點評 本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的兩銳角都是45°、兩直角邊相等、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．