Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），點M（m，n）是拋物線上一動點，位于對稱軸的左側(cè)，并且不在坐標軸上，過點M作x軸的平行線交y軸于點Q，交拋物線于另一點E，直線BM交y軸于點F．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標；
（2）當S_△MFQ：S_△MEB=1：3時，求點M的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式得到關于a、b、c的三元一次方程組，然后求解即可，再把函數(shù)解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標；
（2）根據(jù)點M的坐標表示出點Q、E的坐標，再設直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再求出點F的坐標，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面積，然后列出方程并根據(jù)m的取值范圍整理并求解得到m的值，再根據(jù)點M在拋物線上求出n的值，然后寫出點M的坐標即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
∴y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x²-3x+

9

4

）+

9

8

+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴頂點坐標為（

3

2

，

25

8

）；

（2）∵M（m，n），
∴Q（0，n），E（3-m，n），
設直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），M（m，n）代入得

4k+b=0 mk+b=n

，
解得

k= n m-4 b= 4n 4-m

，
∴y=

n

m-4

x+

4n

4-m

，
令x=0，則y=

4n

4-m

，
∴點F的坐標為（0，

4n

4-m

），
∴MQ=|m|，F(xiàn)Q=|

4n

4-m

-n|=|

mn

4-m

|，ME=|3-m-m|=|3-2m|，
∴S_△MFQ=

1

2

MQ•FQ=

1

2

|m|•|

mn

4-m

|=

1

2

|

m2n

4-m

|，
S_△MEB=

1

2

ME•|n|=

1

2

•|3-2m|•|n|，
∵S_△MFQ：S_△MEB=1：3，
∴

1

2

|

m2n

4-m

|×3=

1

2

•|3-2m|•|n|，
即|

3m2

4-m

|=|3-2m|，
∵點M（m，n）在對稱軸左側(cè)，
∴m＜

3

2

，
∴

3m2

4-m

=3-2m，
整理得，m²+11m-12=0，
解得m₁=1，m₂=-12，
當m₁=1時，n₁=-

1

2

×1²+

3

2

×1+2=3，
當m₂=-12時，n₂=-

1

2

×（-12）²+

3

2

×（-12）+2=-88，
故點M的坐標為（1，3）或（-12，-88）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，此題運算較為復雜，用m、n表示出△MFQ和△MEB的相應的邊長，然后根據(jù)兩個三角形的面積的關系列出方程是解題的關鍵．