Question

10．如圖，矩形ABCD的邊AB=4，BC=7，E為BC上一點(diǎn)，BE=3，連接AE，將矩形ABCD沿AE翻折，翻折后點(diǎn)B與點(diǎn)B′對應(yīng)，點(diǎn)A與A′對應(yīng)，再將所得△A′B′E繞著點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，線段A′B′與線段AE交于點(diǎn)P，當(dāng)PA′=2.4時，△B′AP為等腰三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理求得AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出PA=PB′，設(shè)PA=PB′=x，則PA′=4-x，PE=5-x，作PG⊥A′E于G，根據(jù)余弦函數(shù)求得A′G=$\frac{4}{5}$（4-x），進(jìn)而得出GE=5-$\frac{4}{5}$（4-x），然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可求得．

解答 解：∵AB=4，BE=3，
∴AE=5，
∵△B′AP為等腰三角形，
∴PA=PB′，
設(shè)PA=PB′=x，則PA′=4-x，PE=5-x，
作PG⊥A′E于G，
∵∠PA′G=∠BAE，
∴cos∠PA′G=cos∠BAE，
∴$\frac{A′G}{PA′}$=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∴A′G=$\frac{4}{5}$（4-x），
∵A′E=AE=5，
∴GE=5-$\frac{4}{5}$（4-x），
∵PA′²-A′G²=PE²-GE²，
∴（4-x）²-[$\frac{4}{5}$（4-x）]²=（5-x）²-[5-$\frac{4}{5}$（4-x）]²
解得x=2.4，
故當(dāng)PA′=2.4時，△B′AP為等腰三角形．
故答案為2.4．

點(diǎn)評 考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．