Question

3．在Rt△EDF中，ED+DF=10，ED=EG，F(xiàn)D=FH．求△HDG外接圓的半徑的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)△HDG外接圓的圓心為O，連接OH，OG，根據(jù)已知條件得到∠HOG=90°，設(shè)DE=x，OG=OH=R，則FD=10-x，根據(jù)勾股定理得到GH=$\sqrt{2}$R，于是求得EF=EG+FH-GH=ED+FD-GH=10-$\sqrt{2}$R，根據(jù)勾股定理列方程R²-10$\sqrt{2}$R=x²-10x，求得R=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{{x}^{2}-10x+50}$=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{（x-5）^{2}+25}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)△HDG外接圓的圓心為O，連接OH，OG，
∵ED=EG，F(xiàn)D=FH，
∴∠EGD=$\frac{180°-∠E}{2}$，∠FHD=$\frac{180°-∠F}{2}$，
∴∠GDH=180°-∠EGD-∠FHD=$\frac{∠E+∠F}{2}$=45°，
∴∠HOG=90°，
設(shè)DE=x，OG=OH=R，則FD=10-x，GH=$\sqrt{2}$R，
∴EF=EG+FH-GH=ED+FD-GH=10-$\sqrt{2}$R，
∵EF²+ED²+FD²，
∴（10-$\sqrt{2}$R）²=x²+（10-x）²，
∴R²-10$\sqrt{2}$R=x²-10x，
∴R=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{{x}^{2}-10x+50}$=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{（x-5）^{2}+25}$，
∴R_最大=5$\sqrt{2}$-5，此時x=5，即ED=FD=5．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，勾股定理，連接OH，OG構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．