Question

14．（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，點A為OM上一點，點B為OP上一點．請你利用該圖形在ON上找一點C，使△COB≌△AOB．參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在∠MON的兩邊上以O(shè)為端點截取相等的兩條相等的線段，兩個端點與角平分線上任意一點相連，所構(gòu)成的兩個三角形全等，即△COB≌△AOB；
（2）根據(jù)圖（1）的作法，在CG上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF=GF；再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根據(jù)圖（1）的作法，在CG上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF（SAS），得出FE=FG；再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC，得DF=FG，故得出EF=FD．

解答 解：（1）如圖①所示，△COB≌△AOB，點C即為所求．
 （2）如圖②，在CG上截取CG=CD，
∵CE是∠BCA的平分線，
∴∠DCF=∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{∠DCF=∠GCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF=GF．
∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠AFE=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠AFG}\\{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF=GF，
∴DF=EF；
（3）DF=EF 仍然成立．
證明：如圖③，在CG上截取AG=AE，
同（2）可得△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA．
又由題可知，∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°，
∴∠EFA=∠GFA=180°-120°=60°=∠DFC，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
同（2）可得△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD．

點評 此題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)的運用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．