Question

19．如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，下列結(jié)論正確的有（　�。﹤�(gè)
 ①AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）； ②∠DAB+∠DCB=180°； ③CD=CB；④S_△ACE-S_△BCE=S_△ADC；⑤AD=AE．

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 ①在AE取點(diǎn)F，使EF=BE．利用已知條件AB=AD+2BE，可得AD=AF，進(jìn)而證出2AE=AB+AD；
②在AB上取點(diǎn)F，使BE=EF，連接CF．先由SAS證明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根據(jù)線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)得出∠CFB=∠B；然后由鄰補(bǔ)角定義及四邊形的內(nèi)角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；
③根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出CD=CF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)性質(zhì)得出CF=CB，從而CD=CB；
④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根據(jù)全等三角形的面積相等易證S_△ACE-2S_△BCE=S_△ADC．
⑤結(jié)合①的解題過(guò)程進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①在AE取點(diǎn)F，使EF=BE，

∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD），故①正確；

②在AB上取點(diǎn)F，使BE=EF，連接CF．
在△ACD與△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正確；

③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③正確；

④易證△CEF≌△CEB，
∴S_△ACE-S_△BCE=S_△ACE-S_△FCE=S_△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S_△ACF=S_△ADC，
∴S_△ACE-2S_△BCE=S_△ADC，故④正確．

⑤由①知，AD=AF，且AF＜AE，所以AD＜AE，故⑤錯(cuò)誤．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形綜合題，需要掌握角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，正確作輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．