Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，2），點B的坐標是（2，0），連結(jié)AB，點P是線段AB上的一個動點（包括兩端點），直線y=-x上有一動點Q，連結(jié)OP，PQ，已知△OPQ的面積為$\sqrt{2}$，則點Q的坐標為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．．

Answer 1

分析 方法一：由A、B點的坐標可得出直線AB的解析式，從而發(fā)現(xiàn)直線AB與直線OQ平行，由平行線間距離處處相等，可先求出點O到直線AB的距離，結(jié)合三角形面積公式求出線段OQ的長度，再依據(jù)兩點間的距離公式可得出結(jié)論．
方法二：當點P與點A重合時，根據(jù)三角形的面積可求出點Q的橫坐標，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標即可求出點Q的坐標；同理可求出當點P與B重合時點Q的坐標．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：方法一：∵點Q在直線y=-x上，
∴設點Q的坐標為（m，-m）．
∵點A的坐標是（0，2），點B的坐標是（2，0），
∴△AOB為等腰直角三角形，
點O（0，0）到AB的距離h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\sqrt{2}$．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵點A（0，2），點B（2，0）在直線AB上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
即直線AB的解析式為y=-x+2，
∵直線y=-x+2與y=-x平行，
∴點P到底OQ的距離為$\sqrt{2}$（平行線間距離處處相等）．
∵△OPQ的面積S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OQ=$\sqrt{2}$，
∴OQ=2．
由兩點間的距離公式可知OQ=$\sqrt{（m-0）^{2}+（-m-0）^{2}}$=2，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
∴點Q的坐標為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案為：（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
方法二：當P點與A重合時，則△OPQ底OP為2，
∵△OPQ的面積為$\sqrt{2}$，
∴△OPQ的高為$\sqrt{2}$，即點Q的橫坐標為-$\sqrt{2}$，
∵點Q在直線y=-x上，
∴點Q的坐標為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
當P點與B重合時，同理可求出點Q的坐標為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
綜上即可得出點Q的坐標為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行線的性質(zhì)、三角形的面積公式以及兩點間的距離公式，解題的關鍵是求出線段OQ=2．本題屬于中檔題，難度不大，只要找出直線AB與直線OQ平行即能得出底邊OQ上的高的長度，再結(jié)合兩點間的距離公式找出結(jié)論．解決該類題型，要首先想到由點到距離的公式求出三角形的高．