Question

7．如圖，A、C兩點(diǎn)在直線L上，AC=6，D為射線CM上一點(diǎn)，CD=7，若在A、C兩點(diǎn)之間栓一根橡皮筋，“奮力�！盦拉動(dòng)橡皮筋在平面內(nèi)爬行，爬行過程中始終保持QA=2QC．
（1）若Q點(diǎn)在直線L上，
①請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出Q的位置；
②直接寫出QC的長(zhǎng)度，QC=2或6；
（2）在“奮力牛”爬行過程中，2QD+QA的最小值是14．

Answer 1

分析 （1）要分類討論，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的右側(cè)兩種情況；
（2）因?yàn)镼A=2QC，所以求2QD+QA的最小值就是求2QD+2QC的最小值．QD+QC≥CD，所以QD+QC最小值為CD=7，題中所求最小值為14．

解答 解：（1）①如圖所示：點(diǎn)Q即為所求；
②（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的左側(cè)，
∵QA=2QC，
∴CQ=AC=6，
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的右側(cè)，
∵QA=2QC，
∴CQ=$\frac{1}{3}$AC=2．
故答案為：6或2；

（2）∵QA=2QC，
∴2QD+QA=2QD+2QC，
∵QD+QC≥CD，
∴QD+QC的最小值=CD=7，
∴2QD+QA的最小值=14．
故答案為；14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本作圖，線段和的最小值，特別是（1）要進(jìn)行分類討論．