Question

如圖，在⊙O中，弦AB∥弦CD，且AB，CD位于圓心O的兩側(cè)，AB=8，CD=6，AB，CD之間的距離為7，連接OA，OC．
（1）求⊙O的半徑；
（2）過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求線段CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）作OM⊥AB于E，交CD與N，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)平行線的性質(zhì)得ON⊥CD，則利用垂徑定理得到AM=

1

2

AB=4，CN=

1

2

CD=3，根據(jù)平行線間的距離得到MN=7，接著根據(jù)勾股定理得OM²+4²=r²①，ON²+3²=r²②，利用②-①得ON²-OM²=7，加上OM+On=7可解得ON=4，OM=3，則OA=

AM2+OM2

=5；
（2）作AH⊥CD于H，連結(jié)OE，如圖，則AH=MN=7，易得Rt△OAM≌Rt△CON，則∠AOM=∠OCN，于是可證得∠AOM+∠CON=90°，則OA⊥OC，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AE，所以
OC∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)有OCN=∠AEM，于是可判斷△OCN∽△AEH，利用相似比計(jì)算出EH=

21

4

，加上HC=HN-CN=4-3=1，所以EC=EH+HC=

25

4

．

解答：解：（1）作OM⊥AB于E，交CD與N，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，
∴AM=

1

2

AB=4，CN=

1

2

CD=3，MN=7，
在Rt△AOM中，∵OM²+AM²=OA²，
∴OM²+4²=r²①，
在Rt△CON中，∵ON²+CN²=OC²，
∴ON²+3²=r²②，
②-①得ON²-OM²=7，
∴（ON+OM）（ON-OM）=7，
∴ON-OM=1，
∴ON=4，OM=3，
∴OA=

AM2+OM2

=5，
即⊙O的半徑為5；
（2）作AH⊥CD于H，連結(jié)OE，如圖，則AH=MN=7，
在Rt△OAM和Rt△CON中

OM=CN OA=CO

，
∴Rt△OAM≌Rt△CON，
∴∠AOM=∠OCN，
∵∠AOM+∠CON=90°，
∴∠AOM+∠CON=90°，
∴OA⊥OC，
∵AE為切線，
∴OA⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠OCN=∠AEM，
∴△OCN∽△AEH，
∴

CN

EH

=

ON

AH

，即

3

EH

=

4

7

，解得EH=

21

4

，
∵HN=AM=4，
∴HC=HN-CN=4-3=1，
∴EC=EH+HC=

21

4

+1=

25

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理、切線的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．