Question

6．如圖，在△ABC中，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長線于F，F(xiàn)D²=FB•FC，求證：AD平分△BAC．

Answer 1

分析 連結(jié)FA，如圖，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得FA=FD，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠EAF=∠EDF，由于FD²=FB•FC，則FA²=FB•FC，加上∠AFC=∠BFA，于是可判斷△FAC∽△FBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得∠FAC=∠B，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠EDF=∠B+∠BAD，所以∠CAD=∠BAD，于是可判斷AD平分∠BAC．

解答 證明：如圖，連接AF，

∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF=DF，∠EAF=∠EDF，
∵FD²=FB•FC即$\frac{DF}{CF}=\frac{BF}{DF}$，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{BF}{AF}$，
∵∠AFC=∠BFA，
∴△AFC∽△BFA，
∴∠FAC=∠B，
∵∠EAF=∠EDF即∠FAC+∠CAD=∠BAD+∠B，
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，只有運(yùn)用對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)