Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，sin∠BAC=$\frac{1}{3}$，點D是AC上一點，且BC=BD=2，將Rt△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到Rt△FEC的位置，并使點E在射線BD上，連接AF交射線BD于點G．
（1）求證：△BCD∽△AGD；
（2）求AG的長．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥CD于H，如圖，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，根據(jù)兩等腰三角形的兩頂角相等，則底角相等得到∠CBE=∠CAF，∠AGD=∠BCD，于是得到結(jié)論；
（2）在Rt△ABC中利用∠BAC的正弦可計算出AC=6，由于BC=BD=2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CH=DH，根據(jù)等角的余角相等得∠HBC=∠BAC，在Rt△HBC中利用sin∠HBC的正弦可計算出HC=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{2}{3}$，則CD=2CH=$\frac{4}{3}$，所以AD=AC-CD=$\frac{14}{3}$，易得∠AGD=∠BCD，再利用∠BCD=∠BDC可得∠ADG=∠AGD，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AG=AD=$\frac{14}{3}$．

解答 解：（1）作BH⊥CD于H，如圖，
∵Rt△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到Rt△FEC的位置，
∴∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$（180°-∠BCE），∠CAF=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACF），
∴∠CBE=∠CAF，
∵∠BDC=∠ADG，
∴△BCD∽△AGD；

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴AC=3BC=6，
∵BC=BD=2，
∴CH=DH，
∵∠HBC+∠ACB=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠HBC=∠BAC，
∴sin∠HBC=$\frac{1}{3}$，
在Rt△HBC中，∵sin∠HBC=$\frac{HC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴HC=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{2}{3}$，
∴CD=2CH=$\frac{4}{3}$，
∴AD=AC-CD=6-$\frac{4}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∵∠BDC=∠ADG，
∴∠AGD=∠BCD，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AG=AD=$\frac{14}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形．