Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，以點(diǎn)B為圓心，以2為半徑作圓，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙B的一條切線，切點(diǎn)為Q．
（1）如圖1，連接BP，BQ，當(dāng)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：△PBQ≌△BPC；
（2）如圖2，求PQ的最小值，并確定此時(shí)點(diǎn)P的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)求得∠PQB=90°，然后根據(jù)已知求得PC=BQ=2，根據(jù)HL即可求得△PBQ≌△BPC；
（2）當(dāng)P移動(dòng)到C位置時(shí)，PQ的值最小，根據(jù)勾股定理即可求得PQ的最小值，從而確定P的位置．

解答：解：（1）∵PQ是⊙B的切線，
∴BQ⊥PQ，
∴∠PQB=90°，
∵AC=4，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，
∴PC=2，
∵BQ=2，
∴PC=BQ，
在RT△PBC和RT△BPQ中，

PC=BQ PB=BP

，
∴RT△PBC≌RT△BPQ（HL），
即△PBQ≌△BPC；
（2）過(guò)C點(diǎn)作⊙B的切線CQ′，連接BQ′，
∴BQ′⊥CQ′，
∵BC=3，BQ′=2，
∴CQ′=

32-22

=

5

，
∴當(dāng)P處于C位置時(shí)，PQ的值最小，最小值為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查 了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握切線的性質(zhì)以及三角形全等的判定是本題的關(guān)鍵．