Question

（1）如圖1、圖2，點P是⊙O外一點，作直線OP，交⊙O于點M、N，則有結(jié)論：①點M是點P到⊙O的最近點；②點N是點P到⊙O的最遠點．
請你從①和②中選擇一個進行證明．
（注：圖1和圖2中的虛線為輔助線，可以直接利用）
（2）如圖，已知，點A、B分別是直角∠XOY的兩邊上的動點，并且線段AB=4，如果點T是線段AB的中點，則線段TO的長等于

 

，所以，當點A和B在直角∠XOY的兩邊上運動時，點O一定在以點

 

為圓心，以線段

 

為直徑的圓上．
（3）如圖，△ABC的等邊三角形，AB=4，直角∠XOY的兩邊OX，OY分別經(jīng)過點A和點B（點O與點A、點B都不重合），連接OC，求OC的最大值與最小值．
（4）如圖，在直角坐標系xOy中，點A、B分別是x軸與y軸上的動點，并且線段AB等于4為一定值．以AB為邊作正方形ABCD，連接OC，則OC的最大值與最小值的乘積等于

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題,線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短,直角三角形斜邊上的中線,勾股定理

專題：探究型

分析：（1）依據(jù)兩點之間線段最短即可解決問題．
（2）依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解決問題．
（3）取AB的中點T，連接TO、CT、OC，如圖4．先求出OT、CT的長，再依據(jù)兩點之間線段最短即可解決問題．
（4）取AB的中點T，連接TO、CO、CT，如圖5．先求出OT、CT的長，再依據(jù)兩點之間線段最短即可解決問題．

解答：解：（1）①如圖1，
根據(jù)兩點之間線段最短可得：PO≤PR+OR．
∴PM+MO≤PR+OR．
∵MO=RO，∴PM≤PR．
∴點M是點P到⊙O的最近點．
②如圖2，
根據(jù)兩點之間線段最短可得：PS≤PO+OS．
∵OS=ON，∴PS≤PO+ON，即PS≤PN．
∴點N是點P到⊙O的最遠點．

（2）如圖3，
∵∠XOY=90°，點T是線段AB的中點，
∴TO=

1

2

AB=2．
∴點O在以點T為圓心，以線段AB為直徑的圓上．
故答案為：2、T、AB．

（3）取AB的中點T，連接TO、CT、OC，如圖4．
∵∠AOB=90°，點T是線段AB的中點，
∴TO=

1

2

AB=2．
∵△ABC的等邊三角形，點T是線段AB的中點，
∴CT⊥AB，AT=BT=2．
∴CT=

CB2-BT2

=

42-22

=2

3

．
根據(jù)兩點之間線段最短可得：OC≤OT+CT，即OC≤2+2

3

；
CT≤OC+OT，即OC≥CT-OT，也即OC≥2

3

-2．
∴OC的最大值為2+2

3

，OC的最小值為2

3

-2．

（4）取AB的中點T，連接TO、CO、CT，如圖5．
∵∠AOB=90°，點T是線段AB的中點，
∴TO=

1

2

AB=2．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°．
∵點T是線段AB的中點，
∴BT=

1

2

AB=2．
∴CT=

CB2+BT2

=

42+22

=2

5

．
根據(jù)兩點之間線段最短可得：OC≤OT+CT，即OC≤2+2

5

；
CT≤OC+OT，即OC≥CT-OT，也即OC≥2

5

-2．
∴OC的最大值為2+2

5

，OC的最小值為2

5

-2．
∵（2

5

+2）（2

5

-2）=20-4=16．
∴OC的最大值與最小值的乘積等于16．
故答案為：16．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、兩點之間線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，運用“兩點之間線段最短”是解決本題的關鍵．