Question

19．如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，D，C均在⊙O上，且BC邊與⊙O相切于點(diǎn)C．
（1）判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）已知AB=6，求劣弧AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥BC，再理由菱形的性質(zhì)得BD平分∠ABC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得點(diǎn)O到AB的距離等于OC，于是利用直線與圓的位置關(guān)系可判定AB與⊙O相切；
（2）連接OA，如圖，由AB與⊙O相切得到OA⊥AB，再利用菱形的性質(zhì)得∠ABC=∠ADC，利用圓周角定理得到∠AOC=2∠ADC，則可計算出∠ABC=60°，∠AOC=120°，所以•∠OBA=30°，然后計算出半徑OA后利用弧長公式求解．

解答 解：（1）AB與⊙O相切．理由如下：
連接OC，如圖，
∵BC邊與⊙O相切于點(diǎn)C．、
∴OC⊥BC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD平分∠ABC，
∴點(diǎn)O到AB的距離等于OC，
∴AB與⊙O相切；

（2）連接OA，如圖，
∵AB與⊙O相切，
∴OA⊥AB，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠AOC=2∠ADC，
而∠ABC+∠AOC=180°，
∴∠ABC=60°，∠AOC=120°，
∴∠OBA=30°，
在Rt△ABO中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴劣弧AC的長=$\frac{120•π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了直線與圓的位置關(guān)系和菱形的性質(zhì)．