Question

10．如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，且CD=AB=8，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B），點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ=2PC，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于M點(diǎn)，點(diǎn)N是點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)NQ，設(shè)AP=x．
（1）則AD=4$\sqrt{5}$，AM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x（AM用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明∠MPQ=90°的理由；
（3）若以NQ為直徑作⊙O，在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①當(dāng)⊙O與線段CD相切時(shí)，求x的值；
②連結(jié)PN交⊙O于I，若NI=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有x的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AD，根據(jù)cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AD}$，構(gòu)建方程即可求出AM．
（2）由tan∠D=tan∠PQC，推出∠D=∠PQC，推出PQ∥AD即可解決問(wèn)題．
（3）①分兩種情形當(dāng)P在線段AC上，即0＜x≤4時(shí)．當(dāng)P在線段BC上，即4＜x＜8時(shí)，分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
②分兩種情形當(dāng)P在AC上，當(dāng)P在線段BC上，分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4，CD=AB=8，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AM}{x}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x．
故答案為4$\sqrt{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$x；

（2）如圖1中，

∵tan∠D=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，tan∠PQC=$\frac{PC}{CQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠D=tan∠PQC，
∴∠D=∠PQC，
∴PQ∥AD，
∵PM⊥AD，
∴PM⊥PQ，
∴∠MPQ=90°；

（3）①當(dāng)P在線段AC上，即0＜x≤4時(shí)，
∵⊙O與BC相切，
∴NQ⊥CD，
∵AP=x，
∴CP=4-x，CQ=2PC=8-2x，DQ=8-（8-2x）=2x，DN=AD-2AM=4$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∵cos∠D=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{DQ}{DN}$，
∴$\frac{2x}{4\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{8}{4\sqrt{5}}$，
∴x=$\frac{20}{7}$．
當(dāng)P在線段BC上，即4＜x＜8時(shí)，同理可得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{DQ}{DN}$，
∵CP=AP-AC=x-4，CQ=2CP=2x-8，DQ=CD-CQ=16-2x，
∴$\frac{16-2x}{4\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{8}{4\sqrt{5}}$，
∴x=$\frac{20}{3}$．
綜上所述，x=$\frac{20}{7}$或$\frac{20}{3}$時(shí)，⊙O與CD相切．

②當(dāng)P在AC上時(shí)，由題意PN=AP=x，
易證△PQI≌△PQC，可得PI=PC=4-x，
∵IN=1，
∴PI+IN=PN，
∴4-x+1=x，
∴x=$\frac{5}{2}$．
當(dāng)P在線段BC上，設(shè)PN與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)E，作NF⊥AB于F，
易知FN=$\frac{4}{5}$x，PF=$\frac{3}{5}$x，則CE=$\frac{4（x-4）}{3}$，PE=$\frac{5（x-4）}{3}$，
∴EN=x-$\frac{5（x-4）}{3}$=$\frac{20-2x}{3}$，EQ=（2x-8）-$\frac{4（x-4）}{3}$=$\frac{2x-8}{3}$，
EI=EN-IN=$\frac{17-2x}{3}$，
在Rt△EQI中，cos∠IEQ=$\frac{EI}{EQ}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{17-2x}{3}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{2x-8}{3}$，
∴x=$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．