Question

如圖，線段AC、BD交于點(diǎn)M，過(guò)B、D兩點(diǎn)分別作AC的垂線段BF、DE，
（1）若AB=CD，∠A=∠C，求證：FM=EM；
（2）若AB=CD，F(xiàn)M=EM，求證：∠A=∠C．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由條件可先證明△ABF≌△CDE，可得BF=DE，再證明△BFM≌△DEM，可得到FM=EM；
（2）由條件可先證明△BFM≌△DEM，可得BF=DE，再證明△ABF≌△DEM，可得∠A=∠C．

解答：證明：
（1）∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中

∠A=∠C ∠AFB=∠CED AB=CD

∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
在△BFM和△DEM中

∠BFM=∠DEM ∠BMF=∠DME BF=DE

∴△BFM≌△DEM（AAS），
∴FM=EM；
（2）∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFM=∠DEM=90°，
在△BFM和△DEM中

∠BFM=∠DEM FM=EM ∠BMF=∠DME

∴△BFM≌△DEM（ASA），
∴BF=DE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中

BF=DE AB=CD

∴△ABF≌△CDE（HL），
∴∠A=∠C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．