Question

20．如圖，在矩形ABCD中，AD=8，E是邊AB上一點，且AE=$\frac{1}{4}$AB．⊙O經(jīng)過點E，與邊CD所在直線相切于點G（∠GEB為銳角），與邊AB所在直線交于另一點F，且EG：EF=$\sqrt{5}$：2．當⊙O與邊BC所在的直線與相切時，AB的長是12．

Answer 1

分析 過點G作GN⊥AB，垂足為N，可得EN=NF，由EG：EF=$\sqrt{5}$：2，得：EG：EN=$\sqrt{5}$：1，依據(jù)勾股定理即可求得AB的長度．

解答 解：邊BC所在的直線與⊙O相切時，
如圖，過點G作GN⊥AB，垂足為N，
∴EN=NF，
又∵EG：EF=$\sqrt{5}$：2，
∴EG：EN=$\sqrt{5}$：1，
又∵GN=AD=8，
∴設EN=x，則GE=$\sqrt{5}$x，根據(jù)勾股定理得：
（$\sqrt{5}$x）2-x2=64，解得：x=4，GE=4$\sqrt{5}$，
設⊙O的半徑為r，由OE²=EN²+ON²
得：r²=16+（8-r）²，
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE=$\frac{1}{4}$AB，
∴AB=12．
故答案為：12．

點評 本題考查了切線的性質以及勾股定理和垂徑定理的綜合應用，解答本題的關鍵在于做好輔助線，利用勾股定理求出對應圓的半徑．