Question

已知：O是線段AB的中點(diǎn)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)C，D在直線MN上，∠1=∠2=45°．
（1）若點(diǎn)C與點(diǎn)O重合【圖（1）】，請直接寫出AC與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）若點(diǎn)C，D不與點(diǎn)O重合【圖（2）】，求證：AC=BD，AC⊥BD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證∠BOD=45°，即可證明BO=BD，OB⊥BD，易證AO=BO，即可求得AO=BD，即可解題；
（2）過B作BE⊥BD交OD于點(diǎn)E，易證∠BED=45°，可得AC⊥BD，∠OEB=∠ACO=135°，即可證明△ACO≌△BEO，可得AC=BE，即可解題．

解答：證明：（1）∵∠1=∠2=45°，
∴∠BOD=∠2=45°，
∴∠OBD=90°，BO=BD，
∴OB⊥BD，
∵O是線段AB的中點(diǎn)，
∴AO=BO，
∴AO=BD，且AO⊥BD；
（2）過B作BE⊥BD交OD于點(diǎn)E，

∵∠1=∠2=45°，BE⊥BD，
∴∠BED=∠2=45°，
∴BE=BD，∠OEB=∠ACO=135°，
∴AC∥BE，
∵BE⊥BD，
∴AC⊥BD，
在△ACO和△BEO中，

∠ACO=∠BEO=45° ∠AOC=∠BOE AO=BO

，
∴△ACO≌△BEO，（AAS）
∴AC=BE，
∴AC=BD．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACO≌△BEO是解題的關(guān)鍵．