Question

5．如圖，直線y=x+1與x軸交于點B，y軸交于A點，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且AO=$\frac{1}{2}$MH．
（1）求k的值；
（2）在y軸上是否存在點P，使得點P、A、H、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出OA=OB=1，進(jìn)而求出MH，再判斷出△AOB∽△MHB，求出BH，求出點M的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可；
（2）先設(shè)出點P的坐標(biāo)，表示出PA=|a-1|，由于MH∥y軸，得出PA=MH=2建立方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=x+1與x軸交于點B，y軸交于A點，
∴A（0，1），B（-1，0），
∴OA=1，OB=1，
∵AO=$\frac{1}{2}$MH．
∴MH=2OA=2，
∵M(jìn)H⊥x軸，OA⊥x軸，
∴OA∥MH，
∴△AOB∽△MHB，
∴$\frac{BO}{BH}=\frac{OA}{MH}$，
∴$\frac{1}{BH}=\frac{1}{2}$，
∴BH=2，
∴OH=BH-OB=1，
∴M（1，2），
∵點M在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=1×2=2；

（2）如圖，
設(shè)點P（0，a），
∴PA=|a-1|，
∵點P、A、H、M為頂點的四邊形是平行四邊形，且MH∥y軸，
∴PA=MH=2，
∴|a-1|=2，
∴a=3或a=-1，
∴P的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-1）．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，解（1）的關(guān)鍵是求出MH，解（2）的關(guān)鍵是建立方程|a-1|=2，是一道中等難度的中考常考題．