Question

8．如圖1，AM是圓O的直徑，BC為圓O的弦，AM⊥BC，垂足為N，CD為圓O的弦，CD交AM于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，CD=AB，連接BD．
（1）求證：∠BDC=2∠BAM；
（2）如圖2，若CD⊥AB，連接BE，求證：EN=MN；
（3）在（2）的條件下，若AB=$\sqrt{2}$，求△BDE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由垂徑定理得出BN=CN，$\widehat{BM}=\widehat{CM}$，由圓周角定理證出∠BAM=∠CAM，∠BDC=∠BAC，即可得出結(jié)論；
（2）由角的互余關(guān)系得出∠BAM=∠BCF，由圓周角定理得出∠BAM=∠BCM，證出∠BCF=∠BCM，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CEM=∠CME，證出CE=CM，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
 （3）證明△BDE是等腰直角三角形，設(shè)DF=EF=BF=x，則CE=BE=$\sqrt{2}$x，由CD=AB=$\sqrt{2}$得出方程，解方程求出BF=DF=EF=$\sqrt{2}$-1，DE=2$\sqrt{2}$-2，即可求出△△BDE面積．

解答 （1）證明：連接AC，如圖所示：
∵AM⊥BC，
∴BN=CN，$\widehat{BM}=\widehat{CM}$，
∴∠BAM=∠CAM，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠BDC=2∠BAM；
（2）證明：∵CD⊥AB，AM⊥BC，
∴∠BFC=∠ANB═90°，
∴∠FBC+∠BCF=90°，∠FBC+∠BAN=90°，
∴∠BAM=∠BCF，
∵∠BAM=∠BCM，
∴∠BCF=∠BCM，
∵∠ANC=∠MNC=90°，
∴∠CEM=∠CME，
∴CE=CM，
∴EN=MN； 
（3）解：∵AM⊥BC，BN=CN，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠BED=∠EBC+∠ECB=2∠ECB，
∵∠BDC=2∠BAM，∠BAM=∠BCE，
∴∠BDC=∠BED，
∴BD=BE，
∵CD⊥AB，
∴DF=EF，
∵CD=AB，
∴$\widehat{CD}=\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{AD}$，
∴∠D=∠ABD，
∴DF=BF=EF，
∴∠DBE=90°，△BDE是等腰直角三角形，
設(shè)DF=EF=BF=x，則CE=BE=$\sqrt{2}$x，
∵CD=AB=$\sqrt{2}$，
∴x+x+$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$，
解得：x=$\sqrt{2}$-1，
∴BF=DF=EF=$\sqrt{2}$-1，DE=2$\sqrt{2}$-2，
∴△△BDE面積=$\frac{1}{2}$DE•BF=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-2）×（$\sqrt{2}$-1）=3-$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題目，考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．