Question

9．如圖，△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，以$4\sqrt{2}$為半徑，過B、C兩點(diǎn)作⊙O，連OA，則線段OA的最大值為2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作OF⊥BC于F，根據(jù)垂徑定理得到BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=2，如圖，連結(jié)OB，利用勾股定理得OF=2$\sqrt{7}$，再利用圓周角定理可判斷點(diǎn)A在BC所對(duì)應(yīng)的一段弧上一點(diǎn)，于是可判斷當(dāng)點(diǎn)A在BC的垂直平分線上時(shí)OA最大，此時(shí)AF⊥BC，AB=AC，作BD⊥AC于D，如圖，設(shè)BD=x，則∴AB=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$x，AC=$\sqrt{2}$x，在Rt△BDC中利用勾股定理得到x²=4（2+$\sqrt{2}$），再利用面積法可計(jì)算出AF=2$\sqrt{2}$+2，所以AO=AF+OF=2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$．

解答 解：作OF⊥BC于F，則BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=2，如圖，連結(jié)OB，
在Rt△OBF中，OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵∠BAC=45°，BC=4，
∴點(diǎn)A在BC所對(duì)應(yīng)的一段弧上一點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)A在BC的垂直平分線上時(shí)OA最大，
此時(shí)AF⊥BC，AB=AC，
作BD⊥AC于D，如圖，設(shè)BD=x，
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$x，
∴AC=$\sqrt{2}$x，
在Rt△BDC中，∵BC²=CD²+BD²，
∴4²=（$\sqrt{2}$x-x）²+x²，即x²=4（2+$\sqrt{2}$），
∵$\frac{1}{2}$AF•BC=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴AF=$\frac{x•\sqrt{2}x}{4}$=2$\sqrt{2}$+2，
∴AO=AF+OF=2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$，
即線段OA的最大值為2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$．
故答案為2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理和圓周角定理．解決本題的關(guān)鍵是確定OA垂直平分BC時(shí)OA最大．