Question

11．如果關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于倍根方程的說法：
①方程x²-3x+2=0是倍根方程；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，則4m²+5mn+n²=0；
③若pq=2，則關于x的方程px²+3x+q=0是倍根方程；
④若方程ax²+bx+c=0是倍根方程，且5a+b=0，則方程ax²+bx+c=0的一個根為$\frac{5}{4}$．
其中正確的是①②③（寫出所有正確說法的序號）．

Answer 1

分析 ①解得方程后即可利用倍根方程的定義進行判斷；
②根據(jù)（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，從而得到m+n=0，4m+n=0，進而得到4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0正確；
③已知條件pq=2，然后解方程px²+3x+q=0即可得到正確的結論．
④利用“倍根方程”的定義進行解答．

解答 解：①解方程x²-3x+2=0得：x₁=2，x₂=1，
∴方程x²-3x+2=0是倍根方程，故①正確；

②∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0，故②正確；

③∵pq=2，
解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，
∴x₂=2x₁，故③正確；

④∵方程ax²+bx+c=0是倍根方程，
∴設x₁=2x₂，
∴x₁+x₂=5，
∴x₂+2x₂=5，
∴x₂=$\frac{5}{3}$，故④錯誤．
故答案是：①②③．

點評 本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，根的判別式，反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關鍵．