Question

11．對于二次函數(shù)y=x²-2mx-3有下列說法：
①如果當(dāng)x≤1時y隨x的增大而減小，則m=1；
②如果它的圖象與x軸的兩交點的距離是4，則m=±1；
③如果將它的圖象向左平移3個單位后函數(shù)的最小值是-4，則m=-1；
④如果當(dāng)x=1時的函數(shù)值與x=2015時的函數(shù)值相等，則當(dāng)x=2016時的函數(shù)值為-3．
其中正確的說法是②④．

Answer 1

分析 首先用m表示出二次函數(shù)圖象的對稱軸，然后結(jié)合圖象的單調(diào)性即可對①作出判斷；
用m表示出圖象與x軸的兩交點的距離，再解出m的值即可對②作出判斷；
先把二次函數(shù)y=x²-2mx-3化為頂點坐標(biāo)式，根據(jù)函數(shù)最小值為4即可求出m的值，進而對③作出判斷；
先求出對稱軸為x=1008，然后可知x=2016時的函數(shù)值與x=0值相等，據(jù)此對④作出判斷．

解答 解：①∵當(dāng)x≤1時y隨x的增大而減小，
∴函數(shù)的對稱軸x=-$\frac{-2m}{2}$≥1在直線x=1的右側(cè)（包括與直線x=1重合），
∴m≥1，故本選項錯誤；
②令y=x²-2mx-3=0，x₁+x₂=2m，x₁x₂=-3，
|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4m²+12=16，
解得m=±1，故本選項正確；
③二次函數(shù)y=x²-2mx-3=（x-m）²-m²-3，
當(dāng)圖象向左平移3個單位后的函數(shù)的最小值是-4，
則-m²-3=-4，
解得m=±1，故本選項錯誤；
④當(dāng)x=1時的函數(shù)值與x=2015時的函數(shù)值相等，
則二次函數(shù)圖象對稱軸為x=1008，
則x=2016時的函數(shù)值與x=0值相等，
則當(dāng)x=2016時的函數(shù)值為-3，故本選項正確；
故答案為②④．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的知識，解答本題的關(guān)鍵是要掌握二次函數(shù)圖象的對稱軸，開口方向、函數(shù)的單調(diào)性等知識，此題難度不大．