Question

20．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別交于A（-6，0）、B（0，-8）．
（1）有一拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在⊙M上，開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)B，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S_△PDE=$\frac{1}{15}$S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在（1）中的拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q為圓心的⊙Q與直線AB和⊙M都相切？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在圓上且與y軸平行即可確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）利用三角形ABC的面積為15，設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P（x，y），使得S_△PDE=$\frac{1}{15}$S_△ABC=$\frac{1}{15}$×15=1，再利用S_△PDE=$\frac{1}{2}$×DE×|y|=$\frac{1}{2}$×2×|y|=1，求出y=±1，分y=1和y=-1代入拋物線解析式即可求解．
（3）利用點(diǎn)Q到⊙M的圓心M的距離等于兩圓的半徑之和或差，點(diǎn)Q到直線AB的距離等于⊙Q的半徑．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理，得  AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}$=10；
∵⊙M經(jīng)過O，A，B三點(diǎn)，且∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴半徑MA=5，
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，
∵M(jìn)N⊥x，
∴由垂徑定理，得  AN=ON=$\frac{1}{2}$OA=3
在 Rt△AMN中，MN=$\sqrt{{MA}^{2}{-AN}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-3}^{2}}$=4
∴CN=MC-MN=5-4=1，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，1），
設(shè)拋物線的表達(dá)式為  y=a（x+3）²+1，
∵它經(jīng)過B（0，-8），
∴把x=0，y=-8代入y=a（x+3）²+1
得-8=a（0+3）²+1
解得  a=-1
∴拋物線的表達(dá)式為 y=-（x+3）²+1=-x²-6x-8

（2）如上圖，連接AC，BC，
S_△ABC=S_△AMC+S_△BMC=$\frac{1}{2}$MC×AN+$\frac{1}{2}$MC×ON=$\frac{1}{2}$×5×3+$\frac{1}{2}$×5×3=15
在拋物線y=-x²-6x-8 中，設(shè) y=0，
則-x²-6x-8=0
解得  x₁=-2，x₂=-4，
∴D，E的坐標(biāo)分別是（-4，0），（-2，0），
∴DE=2；
設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P（x，y），使得S_△PDE=$\frac{1}{15}$S_△ABC=$\frac{1}{15}$×15=1，
則  S_△PDE=$\frac{1}{2}$×DE×|y|=$\frac{1}{2}$×2×|y|=1，
∴y=±1，
當(dāng)y=1時(shí)，-x²-6x-8=1
  解得 x₁=x₂=-3 
∴P₁（-3，1），
當(dāng)y=-1時(shí)，-x²-6x-8=-1
 解得  x₁=-3+$\sqrt{2}$，x₂=-3-$\sqrt{2}$，
∴P₂（-3+$\sqrt{2}$，-1），P₃（3-$\sqrt{2}$，-1）
綜上所述，這樣的點(diǎn)存在，且有三個(gè)P₁（-3，1），P₂（-3+$\sqrt{2}$，-1），P₃（3-$\sqrt{2}$，-1）
（3）設(shè)Q（-3，m），⊙Q的半徑為R，
∴$\frac{R}{|m+4|}$=$\frac{3}{5}$，
∴R=$\frac{3}{5}$|m+4|，
∵⊙M與⊙Q相切，
①當(dāng)兩圓外切時(shí)，有5+R=|m+4|，
∴5+$\frac{3}{5}$|m+4|=|m+4|，
∴m=$\frac{17}{2}$或m=-$\frac{33}{2}$，
∴Q（-3，$\frac{17}{2}$）或Q（-3，-$\frac{33}{2}$），
②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有5-R=|m+4|，
∴5-$\frac{3}{5}$|m+4|=|m+4|，
∴m=$\frac{57}{8}$或m=$\frac{7}{8}$，
Q（-3，$\frac{57}{8}$）或Q（-3，$\frac{7}{8}$）．
即：Q（-3，$\frac{17}{2}$）或Q（-3，-$\frac{33}{2}$）或Q（-3，$\frac{57}{8}$）或Q（-3，$\frac{7}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求直線和拋物線的解析式，正確求得拋物線的解析式是解決本題的關(guān)鍵．