Question

17．如圖，平面直角坐標系中，已知點A（a-b，a+b），B（a，0），且$\sqrt{a-b-3}$+（a-2b）²=0，C為x軸上點B右側(cè)的動點，以AC為腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直線DB交y軸于點P．
（1）求證：AO=AB；
（2）求證：△AOC≌△ABD；
（3）當點C運動時，點P在y軸上的位置是否發(fā)生改變，為什么？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，作AE⊥OB于點E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；
（3）設∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性質(zhì)可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的長度不變，故可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵$\sqrt{a-b-3}$+（a-2b）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{a-2b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴A（3，9），B（6，0），
作AE⊥OB于點E，
∵A（3，9），B（6，0），
∴OE=3，BE=6-3=3，
在△AEO與△AEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠AEO=∠AEB=90°}\\{OE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AEB，
∴AO=AB；

（2）證明：∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，
在△AOC與△ABD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=AB}\\{∠OAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△ABD（SAS）；

（3）解：點P在y軸上的位置不發(fā)生改變．
理由：設∠AOB=∠ABO=α，
∵由（2）知，△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=α，
∵OB=2，∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，∠POB=90°，
∴OP長度不變，
∴點P在y軸上的位置不發(fā)生改變．

點評 本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關鍵．