Question

11．如圖，A，B是x軸上的兩點，C在y軸上，且BO=CO=6cm，點A（4，0）．
（1）求過B、C兩點的一次函數(shù)的解析式；
（2）如果P（x，y）是線段BC上的動點，O為坐標(biāo)原點，試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的點P，使得PO=AO？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)反證法，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)根的判別式，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
將B、C點坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
BC的函數(shù)解析式為y=-x+6，
（2）設(shè)P（x，-x+6），由三角形的面積公式，得
S=$\frac{1}{2}$×4×（-x+6），
化簡，得
y=-2x+12（0≤x＜6）；
（3）不存在這樣的點P，使得PO=AO，理由如下：
假設(shè)存在P使得PO=AO，平方，得PO²=AO²，
即x²+（-x+6）²=4²，
化簡，得
x²-6x+10=0．
△=（-6）²-4×10=-4＜0，
不存在實數(shù)x，即不存在P點．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用了三角形的面積公式得出函數(shù)解析式；（3）利用了反證法，根據(jù)的判別式是解題關(guān)鍵．