Question

已知：E是線段AC上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點D，使得∠EDB=∠EAB，聯(lián)結AD．
（1）若直線EF與線段AB相交于點P，當∠EAB=60°時，如圖1，求證：ED=AD+BD；
（2）若直線EF與線段AB相交于點P，當∠EAB=α（0°＜α＜90°）時，如圖2，請你直接寫出線段ED、AD、BD之間的數(shù)量關系（用含α的式子表示）；
（3）若直線EF與線段AB不相交，當∠EAB=90°時，如圖3，請你補全圖形，寫出線段ED、AD、BD之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形,解直角三角形

專題：

分析：（1）作∠DAH=∠EAB交DE于點H，得到∠DAB=∠HAE，再根據(jù)三角形的內角的和定理求出∠ABD=∠AEH，然后利用“角邊角”證明△ABD和△AEH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD=EH，AD=AH，再利用∠EAB=60°判斷出△ADH是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得AD=HD，然后根據(jù)ED=HD+EH等量代換即可得證；
（2）方法同（1），利用α和AD表示出DH，然后寫出答案即可；
（3）作∠DAH=∠EAB交DE于點H，得到∠DAB=∠HAE，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ABD=∠AEH，然后利用“角邊角”證明△ABD和△AEH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD=EH，AD=AH，然后求出△ADH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得

2

AD=HD，再根據(jù)ED=EH-HD等量代換即可得證．

解答：（1）證明：作∠DAH=∠EAB交DE于點H，
∴∠DAB=∠HAE，
∵∠EAB=∠EDB，∠APE=∠BPD，
∴∠ABD=∠AEH，
在△ABD和△AEH中，

∠DAB=∠HAE AB=AE ∠ABD=∠AEH

，
∴△ABD≌△AEH（ASA），
∴BD=EH，AD=AH．，
∵∠DAH=∠EAB=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴AD=HD，
∵ED=HD+EH，
∴ED=AD+BD；

（2）方法同（1），
∵∠DAH=∠EAB=α，
∴HD=2ADsin

α

2

，
∴ED=2ADsin

α

2

+BD；

（3）ED=BD-

2

AD．
如圖，作∠DAH=∠EAB交DE于點H，
∴∠DAB=∠HAE，
∵∠EDB=∠EAB=90°，
∴∠ABD+∠1=∠AEH+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠ABD=∠AEH，
在△ABD和△AEH中，

∠DAB=∠HAE AB=AE ∠ABD=∠AEH

，
∴△ABD≌△AEH（ASA），
∴BD=EH，AD=AH，
∵∠DAH=∠EAB=90°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴HD=

2

AD，
∵ED=EH-HD，
∴ED=BD-

2

AD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，解直角三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構造出全等三角形和等邊三角形是解題的關鍵，此類題目，往往都是求解思路相同，只是根據(jù)條件的變化結論稍作變更．