Question

已知a、b是不為零的實數(shù)，對于任意實數(shù)x、y，都有（a²+b²）（x²+y²）+8bx+8ay-k²+k+28≥0，其中k是實數(shù)，則k的最大值為多少？

Answer 1

考點：配方法的應用,非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

專題：

分析：根據(jù)配方，可得[x+

4b

a2+b2

]²+[y+

4a

a2+b2

]²-

k2-k-12

a2+b2

≥0，根據(jù)非負數(shù)的和為非負數(shù)，可得-

k2-k-12

a2+b2

≥0，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得不等式組，根據(jù)解不等式組，可得答案．

解答：解：對任意實數(shù)x，y，都有（a²+b²）（x²+y²）+8bx+8ay-k²+k+28≥0，
兩邊都除以（a²+b²），得x²+

8bx

a2+b2

+y²+

8ay

a2+b2

-

k2-k-28

a2+b2

≥0
分別配方：
[x+

4b

a2+b2

]²+[y+

4a

a2+b2

]²-

k2-k-12

a2+b2

≥0．
若不等式恒成立，需
k²-k-12≤0．
因式分解，得
（k-4）（k+3）≤0，
解得-3≤k≤4，
k的最大值為4．

點評：本題考查了配方法的應用，配方是解題關(guān)鍵，利用因式分解解不等式．