Question

1．直角△ABD和直角△EBC如圖放置，使點A、B、C在一條直線上，∠ABD=∠EBC=90°，AB=DB，EB=CB，M、N分別是AE、CD的中點．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）判斷BM與BN的關(guān)系，并說明理由；
（3）把△EBC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90），其他條件不變，BM和BN有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出△ABE≌△DBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠EAB=∠CDB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EAB+∠AEB=90°，求出∠DEQ+∠CDB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DQE=90°，即可得出答案；
（2）根據(jù)全等求出CD=BE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；
（3）首先證明△CBD≌△EBA可得∠BAE=∠BDC，AE=DC，再根據(jù)M，N分別是AE，CD的中點可得DN=AM，然后證明△BMA≌△BND，可得到BM=BN．

解答 （1）證明：
延長AE交CD于Q，
∵在△ABE和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠EAB=∠CDB，
∵∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEQ，
∴∠DEQ+∠CDB=90°，
∴∠DQE=180°-90°=90°，
∴AE⊥CD；

（2）解：BM=BN，
理由是：∵△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，
∵∠ABE=∠DBC=90°，M為AE中點，N為CD中點，
∴BM=$\frac{1}{2}$AE，BN=$\frac{1}{2}$CD，
∴BM=BN；

（3）
解：BM=BN，
理由是：∵∠ABD=∠EBC=90°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
即∠CBD=∠ABE，
在△CBD和△EBA中$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠CBD=∠EBA}\\{CB=BE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△EBA（SAS），
∴∠BAE=∠BDC，AE=DC，
∵M，N分別是AE，CD的中點，
∴DN=AM，
在△BMA和△BND中$\left\{\begin{array}{l}{AM=DN}\\{∠BDN=∠BAM}\\{BD=BA}\end{array}\right.$
∴△BMA≌△BND（SAS），
∴BM=BN．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，垂直定義，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握判定定理與性質(zhì)定理．證明三角形全等是證明角相等，線段相等的一種重要的方法，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．