Question

1．如圖，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交邊BC于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=DF，聯(lián)結(jié)EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．
（1）求證：AC⊥AG；
（2）設(shè)AE=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；
（3）當(dāng)△BDF是以BF為腰的等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，由D是AB的中點(diǎn)，得到AD=BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，于是得到結(jié)論；
（2）連接EG，根據(jù)勾股定理得到EF²=（8-x）²+y²，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=BF，由勾股定理得到EG²=x²+（6-y）²，于是得到方程（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，即可得到結(jié)論
（3）①當(dāng)BF=DB時(shí)，6-y=5，列方程得到AE=$\frac{5}{2}$；②當(dāng)DF=FB時(shí)，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FB，垂足為點(diǎn)H，可得DF=FB=6-y，根據(jù)勾股定理得方程（6-y）²=4²+（3-y）²，求得y=$\frac{11}{6}$，于是得到$\frac{11}{6}$=$\frac{4x-7}{3}$求得AE=$\frac{25}{8}$．

解答 （1）證明：∵BC=6，AC=8，
∴BC²+AC²=36+64=100，
∵AB²=100，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
在△ADG和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADG=∠BDF}\\{DG=DF}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△BDF，
∴∠GAB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAB+∠GAB=90°，
∴∠EAG=90°，
即：AC⊥AG；

（2）連接EG，
∵AE=x，AC=8，
∴EC=8-x，
∵∠ACB=90°，
由勾股定理，得EF²=（8-x）²+y²，
∵△ADG≌△BDF，
∴AG=BF，
∵CF=y，BC=6，
∴AG=BF=6-y，
∵∠EAG=90°，
由勾股定理，得EG²=x²+（6-y）²，
∵DG=DF，DF⊥DE，
∴EF=EG，
∴（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，
∴y=$\frac{4x-7}{3}$，定義域：$\frac{7}{4}$＜x＜$\frac{25}{4}$；

（3）①當(dāng)BF=DB時(shí)，6-y=5，∴y=1，
∴1=$\frac{4x-7}{3}$，
∴x=$\frac{5}{2}$，
即AE=$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)DF=FB時(shí)，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FB，垂足為點(diǎn)H，
可得DF=FB=6-y，
∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DC=DB=5，
∵DH⊥FB，BC=6，∴CH=HB=3，
∴FH=3-y，
∵DH⊥FB，
由勾股定理，得DH=4，
在Rt△DHF中，可得（6-y）²=4²+（3-y）²，
解得：y=$\frac{11}{6}$，
∴$\frac{11}{6}$=$\frac{4x-7}{3}$
解得x=$\frac{25}{8}$，即AE=$\frac{25}{8}$，
綜上所述，AE的長(zhǎng)度是$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．