Question

11．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，又在Rt△DEF中，∠DEF=90°，較長的直角邊EF與BC完全重合，即Rt△DEF的頂點(diǎn)E、F分別與Rt△ABC的頂點(diǎn)B、C重合．現(xiàn)在，他讓Rt△ABC固定不動(dòng)，將Rt△DEF通過變換使斜邊DF（或所在的直線）經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A．
（1）如圖2，將Rt△DEF繞點(diǎn)F按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜180°），使斜邊DF經(jīng)過點(diǎn)A，直角邊EF交AB于點(diǎn)G，若DE=3，求重疊部分（即△ACG）的面積
（2）如圖3，將Rt△DEF繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜180°），使斜邊DF經(jīng)過點(diǎn)A，若α=∠F，求tan∠α的值；
（3）如圖4，將Rt△DEF沿射線BC方向平移m個(gè)單位長度，使斜邊DF的反向延長線經(jīng)過點(diǎn)A，若△ADE∽△AEF，求m及tan∠F的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)得出AG的長度，再根據(jù)三角形的面積公式解答即可；
（2）過A作AG⊥BC于G，BH⊥DF于H，得出AG的長度，再根據(jù)三角函數(shù)解答即可；
（3）過A作AQ⊥BC于Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解（1）BC=EF=10，
∴tan∠DFE=$\frac{3}{10}$，
即$\frac{AG}{AC}=\frac{3}{10}$，
∴AG=$\frac{12}{5}$，S_△AGC=$\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×8=\frac{48}{5}$，
（2）過A作AG⊥BC于G，BH⊥DF于H，由面積得AG=$\frac{24}{5}$，如圖3，

∴BH=$\frac{24}{5}$，
在Rt_△FBH中，F(xiàn)H=$\sqrt{1{0}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}=\frac{2\sqrt{481}}{5}$，
∴tanα=$\frac{BH}{FH}=\frac{12\sqrt{481}}{481}$；
（3）過A作AQ⊥BC于Q，如圖4：

∵△ADE∽△AEF，
∴∠AED=∠F=∠QAE，
∴△AQE∽△FQA，設(shè)QE=x，
∴即AQ²=QE•QF，
∴$（\frac{24}{5}）^{2}=x（x+10）$，
∴25x²+250x-576=0，
∴${x}_{1}=\frac{-25+\sqrt{1201}}{5}$，${x}_{2}=\frac{-25-\sqrt{1201}}{5}$（舍），
∴$m=BQ+QE=\frac{\sqrt{1201}-7}{5}$，tan∠F=tan∠QAE=$\frac{QE}{AQ}=\frac{-25+\sqrt{1201}}{24}$．

點(diǎn)評 此題考查幾何變換問題，關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)得出AG的長度和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析解答．