Question

如圖，AB=AC，點E在BC上，點D在AE上，∠BAC=∠BDE=2∠CDE，求證：BE=2CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：在AE上截取AM=BD，連接CM，過點C作CN∥DB，交AE的延長線于點N，易證△CAM≌△ABD，可得∠CMN=∠BDE，即可求得CN=CM，進而可以求得AD=DM=CM=CN，即BD=2CN，根據CN∥DB即可解題．

解答：解：在AE上截取AM=BD，連接CM，過點C作CN∥DB，交AE的延長線于點N．

∵∠BAC=∠BDE，
∴∠BAD+∠CAM=∠BAD+∠ABD，
∴∠CAM=∠ABD，
∵在△CAM和△ABD中，

AB=AC ∠CAM=∠ABD AM=BD

，
∴△CAM≌△ABD，（SAS）
∴∠CMA=∠ADB，CM=AD，
∴∠CMN=∠BDE，
∵CN∥DB，
∴∠N=∠BDE，
∴∠CMN=∠N，
∴CN=CM，
∵∠BDE=2∠CDE，
∴∠CMN=2∠CDE，
∵∠CMN=∠CDE+∠DCM，
∴∠CDE=∠DCM，
∴DM=CM，
∴AD=DM=CM=CN，
∴AD+DM=2CN，即AM=2CN，
∴BD=2CN，
∵CN∥DB，
∴BE=2EC．

點評：本題考查了全等三角形的判定和全等三角形對應角、對應邊相等的性質，考查了三角形外角等于不相鄰兩內角的性質，本題中求證△CAM≌△ABD是解題的關鍵．