Question

2．已知四邊形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，連接AC，過點A作AE⊥AC，且使AE=AC，連接BE，過A作AH⊥CD于H交BE于F．
（1）如圖1，當E在CD的延長線上時，求證：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；
（2）如圖2，當E不在CD的延長線上時，BF=EF還成立嗎？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）①利用SAS證全等；
②易證得：BC∥FH和CH=HE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得BF=EF，也可由三角形中位線定理的推論得出結(jié)論．
（2）作輔助線構(gòu)建平行線和全等三角形，首先證明△MAE≌△DAC，得AD=AM，根據(jù)等量代換得AB=AM，根據(jù)②同理得出結(jié)論．

解答 證明：（1）①如圖1，
∵AB⊥AD，AE⊥AC，
∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABC和△ADE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠1=∠2}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADE（SAS）；

②如圖1，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AEC=∠3，
在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠BCE=90°，
∵AH⊥CD，AE=AC，
∴CH=HE，
∵∠AHE=∠BCE=90°，
∴BC∥FH，
∴$\frac{BF}{FE}$=$\frac{CH}{HE}$=1，
∴BF=EF；

（2）結(jié)論仍然成立，理由是：
如圖2所示，過E作MN∥AH，交BA、CD延長線于M、N，
∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，
∴∠2=∠CAD，
∵MN∥AH，
∴∠3=∠HAE，
∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，
∴∠ACH=∠HAE，
∴∠3=∠ACH，
在△MAE和△DAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠CAD}\\{AE=AC}\\{∠3=∠ACH}\end{array}\right.$
∴△MAE≌△DAC（ASA），
∴AM=AD，
∵AB=AD，
∴AB=AM，
∵AF∥ME，
∴$\frac{BF}{EF}$=$\frac{AB}{AM}$=1，
∴BF=EF．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是能正確找出全等三角形；在幾何圖形中證明線段相等或已知線段相等的一般思路是：①證明相等線段所在的三角形全等；②利用相等線段的比值為1證相等．