Question

13．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E，∠AEB=90°，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接CF，則CF的最大值為$\sqrt{13}$+1．

Answer 1

分析 先確定其CF最大值的位置，作輔助線，構(gòu)建中點(diǎn)和中位線，求出∠HFG=90°，則點(diǎn)F在以GH為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，則CF最大時(shí)，是經(jīng)過圓心I，即CF′最大，根據(jù)條件求出CI的長(zhǎng)，就可以得出結(jié)論．

解答 解：連接BD，取BD、AD的中點(diǎn)為H、G，連接FH、GF，
∵F為DE的中點(diǎn)，
∴FH是△BDE的中位線，F(xiàn)G是△ADE的中位線，
∴FH∥BE，F(xiàn)G∥AE，
∴∠HFD=∠BED，∠GFD=∠AED，
∵∠AEB=90°，
∴∠BED+∠AED=90°，
∴∠HFD+∠GFD=90°，
∴∠HFG=90°，
∴點(diǎn)F在以GH為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
取GH的中點(diǎn)I，
則CF最大時(shí)，是經(jīng)過圓心I，
∵GH是△ABD的中位線，
∴GH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴GI=1，
過I作IM⊥CD于M，
在Rt△CIM中，CM=4-1=3，IM=2，
由勾股定理得：CI=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CF′=$\sqrt{13}$+1，
故答案為：$\sqrt{13}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，也是線段最值問題，此類題都較難，利用了90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)妮o助線和輔助圓，將四邊形與圓中的性質(zhì)相結(jié)合，使問題得以解決．