Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線(xiàn)AO交BC于D，H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)l⊥AO于H，交AB、AC、BC于N、E、M，求∠ABC和∠EMB的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專(zhuān)題：分類(lèi)討論

分析：分①點(diǎn)E在AC上，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得∠ANH=∠AEH，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠EMB+∠CEM=∠ACB，∠EMB+∠B=∠ANH，然后整理即可得解；②點(diǎn)E、C、M重合時(shí)，∠EMB不存在；③點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得∠ANH=∠AEH，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠B+∠BMN=∠ANH，∠AEH+∠EMC=∠ACB，然后整理即可得解．

解答：解：①如圖1，點(diǎn)E在AC上，
∵直線(xiàn)l⊥AO，AO是∠BAC的平分線(xiàn)，
∴∠ANH=∠AEH，
∵∠EMB+∠CEM=∠ACB，∠EMB+∠B=∠ANH，∠CEM=∠AEH（對(duì)頂角相等），
∴∠ACB-∠EMB=∠EMB+∠B，
∴∠ACB-∠B=2∠EMB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠ACB-∠B=∠B，
∴∠B=2∠EMB；
②點(diǎn)E、C、M重合時(shí)，∠EMB不存在；
③如圖2，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同①可得，∠ANH=∠AEH，
∠B+∠BMN=∠ANH，∠AEH+∠EMC=∠ACB，
∴∠B+∠BMN=∠ACB-∠EMC，
∴∠ACB-∠B=∠BMN+∠EMC，
∵∠ACB=2∠B，∠BMN=∠CME=180°-∠EMB，
∴∠B=2（180°-∠EMB），
∴∠EMB=180°-

1

2

∠B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論．