Question

17．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條相互垂直的直徑，E為半徑OB上的一點(diǎn)，且BE=3OE，延長CE交⊙O于點(diǎn)F，線段AF與DO交于點(diǎn)M，則$\frac{DM}{MC}$的值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 連結(jié)BC、BF，如圖，設(shè)OE=a，則BE=3a，圓的半徑為4a，由AB，CD是⊙O的兩條相互垂直的直徑得∠AOC=∠BOC=90°，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出CE=$\sqrt{17}$a，BC=4$\sqrt{2}$a，再根據(jù)圓周角定理得∠ABC=∠CFB=45°，∠BCE=∠FCB，于是可證明△CBE∽△CFB，利用相似比可計(jì)算出BF=$\frac{12\sqrt{34}}{17}$a，接著利用AB為直徑得∠AFB=90°，則利用勾股定理計(jì)算出AF=$\frac{20\sqrt{34}}{17}$a，然后證明Rt△AOM∽Rt△AFB，利用相似比計(jì)算出OM=$\frac{12}{5}$a，則可得到DM=$\frac{8}{5}$a，CM=$\frac{32}{5}$a，最后計(jì)算$\frac{DM}{MC}$的值．

解答 解：連結(jié)BC、BF，如圖，設(shè)OE=a，則BE=3a，圓的半徑為4a，
∵AB，CD是⊙O的兩條相互垂直的直徑，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
在Rt△COE中，CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
在Rt△COB中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$a，
∵∠ABC=∠CFB=45°，
而∠BCE=∠FCB，
∴△CBE∽△CFB，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{BE}{BF}$，即$\frac{\sqrt{17}a}{4\sqrt{2}a}$=$\frac{3a}{BF}$，
∴BF=$\frac{12\sqrt{34}}{17}$a，
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
在Rt△AFB中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{（8a）^{2}-（\frac{12\sqrt{34}a}{17}）^{2}}$=$\frac{20\sqrt{34}}{17}$a，
∵∠MAO=∠BAF，
∴Rt△AOM∽Rt△AFB，
∴$\frac{OM}{BF}$=$\frac{AO}{AF}$，即$\frac{OM}{\frac{12\sqrt{34}a}{17}}$=$\frac{4a}{\frac{20\sqrt{34}a}{17}}$，
∴OM=$\frac{12}{5}$a，
∴DM=4a-$\frac{12}{5}$a=$\frac{8}{5}$a，CM=4a+$\frac{12}{5}$a=$\frac{32}{5}$a，
∴$\frac{DM}{MC}$=$\frac{\frac{12}{5}a}{\frac{32}{5}a}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：先根據(jù)相似三角形判定方法得到相應(yīng)三角形相似，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算面積的比．也考查了圓周角定理．