Question

已知，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，CA=CB，直線MN⊥直線PQ，垂足為O，

進行如下操作，探究：
（1）將直角三角形ABC按①中方式放置，D是射線OM上一點，連結(jié)BD，過A點作AH⊥BD于點H，交OB于點E，
求證：OE=OD；

（2）將直角三角形ABC按②中方式放置，點A在OM上，點C在OP上，BC交MN于點F，過點B作BG⊥MN，若AF恰好平分∠CAB，猜想BG與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）將直角三角形ABC按③中方式放置，若OA=5，點C在射線OP上運動，作IC⊥OC且IC=OC，連結(jié)BI，交PQ于K，當點C運動時，KC的長是否發(fā)生改變？若變化求出KC長度的范圍，若不變求KC的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）運用AAS公理，證明△AOE≌△BOD，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；類比（1）中的方法證明AF=BR；然后證明BG=RG，即可解決問題．
（3）如圖，作輔助線；首先證明BR=OC，進而得到IC=BR；證明RK=KC，即可解決問題．

解答：（1）證明：如圖①，
∵AH⊥BD，AO⊥OE
∴∠ODB+∠DAH
=∠OEA+∠DAH，
∴∠ODB=∠OEA，
在△AOE與△BOD中，

∠AOE=∠BOD ∠OEA=∠ODB AO=BO

，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴OE=OD．
（2）如圖②，分別延長AC、BG，交于點R；
類比（1）中的方法，同理可證△AGF≌△BGR，
∴AF=BR；
在△AGR與△AGB中，

∠RAG=∠BAG AG=AG ∠AGR=∠AGB

，
∴△AGR≌△AGB（ASA），
∴BG=GR，
∴AF=BR=2BG．
（3）KC的長度不變；理由如下：如圖③，過點B作BR⊥CP于點R；
∵∠BRC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠RBC+∠BCR=∠BCR+∠ACO，
∴∠RBC=∠ACO；
在△RBC與△OCA中，

∠RBC=∠ACO ∠BRC=∠AOC BC=AC

，
∴△RBC≌△OCA（AAS），
∴BR=OC，RC=OA；而IC=OC，
∴BR=IC；而BR∥IC，
∴△BRK∽△ICK，
∴

BR

IC

=

RK

KC

=1，
∴RK=KC，KC=

1

2

RC=

1

2

OA為定值，不變．

點評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用全等三角形的判定及其性質(zhì)等來分析、判斷、推理或解答．