Question

14．如圖，點E是正方形ABCD外一點，連接AE，BE和DE，過點A作AE的垂線交DE于P，若AE=AP=1，PB=3，下列結論：
①△ADP≌△ABE；
②BE⊥DE；
③點B到直線AE的距離為$\sqrt{7}$；
④S_{正方形ABCD}=8+$\sqrt{14}$，
其中正確結論的序號是①，②，④．

Answer 1

分析 ①首先利用已知條件根據邊角邊可以證明△APD≌△AEB；
②利用全等三角形的性質和對頂角相等即可解答；
③由（1）可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE過點B作BM⊥AE延長線于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直線AE距離為BF=$\frac{\sqrt{14}}{2}$；
④根據勾股定理得到BF，得到AF的長，再利用勾股定理解答即可．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠BAE=∠DAP}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；

∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，故②正確；

過點B作BF⊥AE交AE的延長線于F，
∵∠BEF=180°-135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{7}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
即點B到直線AE的距離為$\frac{\sqrt{14}}{2}$，故③錯誤，

∵BF=EF=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，AF=EF+AE=$\frac{\sqrt{14}}{2}$+1，
在Rt△ABF中，AB²=AF²+BF²=8+$\sqrt{14}$．
∴S_{正方形ABCD}=8+$\sqrt{14}$，故④正確，
綜上所述，正確的結論有①②④．
故答案為：①②④．

點評 此題分別考查了正方形的性質、全等三角形的性質與判定、三角形的面積及勾股定理，綜合性比較強，解題時要求熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決問題．