Question

3．已知矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E點(diǎn)，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)與C點(diǎn)重合（如圖1）此時(shí)將△EFG以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿直線(xiàn)CB向左平移，直至點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△EFG運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t≥0）
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D落在線(xiàn)段EF上？
（2）設(shè)在平移過(guò)程中△EFG與△ACD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍；
（3）在平移過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖2，將△CBA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△C₁A₁B，直線(xiàn)EF與C₁A₁所在直線(xiàn)交于P點(diǎn)，與C₁B₁所在直線(xiàn)交于點(diǎn)Q，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△ABC的旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α°＜90°），是否存在這樣的α，使△C₁PQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)方向及α的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)求出線(xiàn)段CD，延長(zhǎng)AD交EF于點(diǎn)H，利用三角函數(shù)即可求出線(xiàn)段DH長(zhǎng)度，再除以運(yùn)動(dòng)速度即為運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB=$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{3}$，即FG=$\sqrt{3}$，EG=2$\sqrt{3}$，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分五種情況進(jìn)行討論：①當(dāng) 0＜t≤2時(shí)；②當(dāng)2＜t≤2$\sqrt{3}$時(shí)；③當(dāng)2$\sqrt{3}$＜t≤6時(shí)；④當(dāng)6＜t≤8時(shí)；⑤當(dāng)8＜t＜6+2$\sqrt{3}$時(shí)；根據(jù)三角形的面積和長(zhǎng)方形的面積求出重合面積，寫(xiě)出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）通過(guò)分析△C₁PQ為等腰三角形，分析等腰情況，分別求出對(duì)應(yīng)角度即可．

解答 解：（1）延長(zhǎng)AD交EF于點(diǎn)H，如下圖：
∵△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，
∴∠DFH=30°，
∴DH=DF×tan30°=1，
∵△EFG以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿直線(xiàn)CB向左平移，1÷2=0.5秒，
∴當(dāng)t=0.5時(shí)，點(diǎn)D落在線(xiàn)段EF上；

（2）∵矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴AB=$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$，
∴FG=$\sqrt{3}$，EF=2$\sqrt{3}$．
分五種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng) 0＜t≤2時(shí)，如圖2，CF=t，CM=$\sqrt{3}$t，
則S=$\frac{1}{2}$CF•CM=$\frac{1}{2}$×t×$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
②當(dāng)2＜t≤2$\sqrt{3}$時(shí)，如圖3，
CF=t，CD=AB=2$\sqrt{3}$，
則DM=t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（DM+CF）•CD=$\frac{1}{2}$（t-2+t）×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$；
③當(dāng)2$\sqrt{3}$＜t≤6時(shí)，如圖4，F(xiàn)G=2$\sqrt{3}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（MN+FG）•CD=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-2+2$\sqrt{3}$）×2$\sqrt{3}$=12-2$\sqrt{3}$；
④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，如圖5，BG=FG-BF=2$\sqrt{3}$-（t-6）=2$\sqrt{3}$+6-t，AN=BG-NH=（2$\sqrt{3}$+6-t）-（2$\sqrt{3}$-2）=8-t，
∴AM=$\sqrt{3}$AN=8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴S=S_矩形ABGH-S_△AMN=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t-20$\sqrt{3}$+12；
⑤當(dāng)8＜t＜6+2$\sqrt{3}$時(shí)，如圖6，BG=2$\sqrt{3}$+6-t，
∴S=BG•AB=-2$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$+12；

（3）∵△C₁PQ為等腰三角形，
當(dāng)PQ=PC′，如下圖7：
則∠Q=∠C′=30°，
∴∠EPC′=60°，
∵∠E=30°，
∴∠A′B′E=30°，
∴α=30°．
同理：當(dāng)PQ=QC′，PC′=QC′，α=120°、165°．
∴△C₁PQ為等腰三角形，旋轉(zhuǎn)角為30°、120°、165°．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于幾何變換綜合題．考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵分析圖形的變換情況，在變換過(guò)程中，找準(zhǔn)變量和不變量．