Question

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E．
（1）求證：BC=BD；
（2）若AB=8，CD=4

3

，求BC和AD的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）直接證明

BC

=

BD

，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；求出OE=2，AE=6，BE=2；此為解題的關鍵；運用射影定理即可解決問題．

解答：解：（1）∵直徑AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD．
（2）如圖，連接OD；
∵直徑AB⊥CD，AB=8，
∴DE=CE=2

3

，OD=4，
由勾股定理得：
OE²=OD²-DE²，
∴OE=2，AE=6，BE=2；
由射影定理得：
BD²=BE•AB，AD²=AE•AB，
∴BD=4，AD=4

3

，
∴BC=BD=4，AD=4

3

．

點評：該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應用問題；作輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．