Question

7．如圖，正比例函數(shù)y=$\frac{1}{2}x$與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}（k＞0）$的圖象相交于A，B兩點，過A點作AC⊥x軸，垂足為C，過B點作BD⊥x軸，垂足為D，已知點A的橫坐標為2．
（1）求k的值；
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）P、Q兩點是坐標軸上的動點（P為正半軸上的點，Q為負半軸上的點），當以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是矩形時，求P、Q兩點的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A的橫坐標代入正比例函數(shù)解析式可得點A的縱坐標，把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求得k的值；
（2）易得四邊形ABCD的對角線互相平分，那么是平行四邊形；
（3）若以AB為邊得到的矩形，P，Q兩點不在坐標軸上；以AB為對角線得到的矩形，可以AB為直徑畫一個圓，看圓與坐標軸的交點即可．

解答 解：（1）∵點A的橫坐標為2，由y=$\frac{1}{2}$x得y=1，
∴A（2，1），
∴k=2；

（2）∵A、O、B在一條直線上，A，B在反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的交點處，
∴點A和點B關(guān)于點O中心對稱，
∴AO=OB，OC=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（3）∵以AB為邊的四邊形是矩形時，點P、Q分別在x軸和y軸上時，此時不可能；
∴只能以AB為矩形的對角線，此時P、Q分別在x軸的正、負半軸上或者在y軸的正、負半軸上．
∵OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴以O為圓心，$\sqrt{5}$為半徑畫圓與坐標軸的交點即為所求的點P（$\sqrt{5}$，0），Q（-$\sqrt{5}$，0）或者P（0，$\sqrt{5}$），Q（0，-$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，用到的知識點為：點在函數(shù)解析式上，就適合這個函數(shù)解析式；正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點關(guān)于原點對稱；直徑所對的圓周角是90°等知識．