Question

10．點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC上，已知△MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD周長(zhǎng)的一半，求∠MAN的度數(shù)．

Answer 1

分析 先利用△MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD周長(zhǎng)的一半可得到MN=DM+BN，△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠ADM，∠MAE=90°，接著證明△AMN≌△AEN得到∠MAN=∠EAN，從而得到∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MAE=45°．

解答 解：∵△MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD周長(zhǎng)的一半，
∴MN+CM+CN=CD+CB，
∴MN=DM+BN，
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，如圖，
∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠ADM，∠MAE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，
∴EN=BE+NB=DM+BN=MN，
在△AMN和△AEN中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{AN=AN}\\{MN=EN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AEN，
∴∠MAN=∠EAN，
∴∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MAE=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△AEN與△AMN全等．