Question

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），且滿足$（a+4{）^2}+\sqrt{b-4}=0$，過C作CB⊥x軸于B．

（1）求△ABC的面積．
（2）在y軸上是否存在點P，使得△ABC和△ACP的面積相等？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)易得a=-4，b=4，然后根據(jù)三角形面積公式計算；
（2）分類討論：設(shè)P（0，t），當(dāng)P在y軸正半軸上時，過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，利用S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=8可得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t；
（3）過E作EF∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)得BD∥AC∥EF，且∠3=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠1，∠4=$\frac{1}{2}$∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入計算即可．

解答 解：（1）∵（a+4）²+$\sqrt{b-4}$=0，
∴a+4=0，b-4=0，
∴a=-4，b=4，
∵CB⊥AB
∴A（-4，0），B（4，0），C（4，2），
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×8=8；

（2）①當(dāng)P在y軸正半軸上時，如圖1，
設(shè)P（0，t），
過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=8，
∴$\frac{1}{2}$×8×（t+t-2）-$\frac{1}{2}$×4t-$\frac{1}{2}$×4×（t-2）=8，
解得：t=3，
②當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上時，如圖2，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=8
∴$\frac{1}{2}$×8（-t+2-t）+$\frac{1}{2}$×4t-$\frac{1}{2}$×4（2-t）=8，
解得：t=-1，
∴P（0，-1）或（0，3）．

（3）∵CB∥y軸，BD∥AC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
過E作EF∥AC，如圖3，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠1，∠4=$\frac{1}{2}$∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB）=45°．

點評 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及三角形面積公式．